Pulau Purata & SerakanMT3121 · Topik 1.3 dan 1.4

0 XPTahap · Pengira Baru

🎯 MISI PEMBELAJARAN

Cari pusat data, kemudian ukur serakannya

Di pulau ini anda belajar dua topik: 1.3 Sukatan Kecenderungan Memusat (min, median, mod) dan 1.4 Sukatan Serakan (julat, kuartil, julat antara kuartil, varians, sisihan piawai).

Belum belajar 1.1 dan 1.2? Mulakan di Pulau Statistik dahulu.

1.3 Purata

Min, median dan mod bagi data tak terkumpul dan data terkumpul.

1.4 Serakan

Julat, kuartil, julat antara kuartil, varians dan sisihan piawai.

Main sambil belajar

Dua misi 4 tahap, Mesin Statistik, spin, escape room dan battle.

XP dan lencana

Jawapan betul sebelum lihat skema baru dapat XP. Markah disimpan sendiri.

⭐ Sistem XP

50 XP

Setiap misi 4 tahap: Misi Pusat Data (1.3) dan Misi Serakan (1.4).

+5 / +10 / +15

Objektif, struktur, dan soalan penyelesaian masalah.

Setiap soalan bonus di Arena.

🎖️ Lencana pencapaian

🎯 Pakar Purata (Misi Pusat Data selesai) · 📏 Penakluk Serakan (Misi Serakan selesai) · 🧮 Raja Rumus (semua Bahagian C betul) · 👑 Juara Purata & Serakan (semua soalan selesai).

🎯 MISI 1.3

Sukatan kecenderungan memusat

Sukatan kecenderungan memusat ialah satu nilai purata yang menunjukkan pusat taburan data. Ada tiga sukatan:

Mengira min, median dan mod bagi data tak terkumpul.
Mengira min dan median, serta mencari mod, bagi data terkumpul.
Mencari median daripada ogif.

🧠 Nota ringkas bergambar

MIN ➗

Purata semua nilai. Tambah semua, bahagi dengan bilangan data.

MEDIAN 📍

Nilai di tengah selepas data disusun menaik. Dua nilai di tengah? Ambil puratanya.

MOD 🔁

Nilai yang paling kerap muncul. Bagi data terkumpul: kelas mod ialah kelas dengan kekerapan tertinggi.

1. Data tak terkumpul: senarai nombor

Minx̄ = ΣxN Kedudukan medianT_(N+1)/2 Modnilai paling kerap

Σx = hasil tambah semua nilai. N = bilangan data. T = cerapan (kedudukan) selepas disusun.

Contoh 10 · 4, 7, 3, 7, 2, 5, 3, 7

Min = (4 + 7 + 3 + 7 + 2 + 5 + 3 + 7) ÷ 8 = 38 ÷ 8 = 4.75
Mod = 7 (muncul 3 kali)
Median: susun dahulu. N = 8, kedudukan = (8 + 1) ÷ 2 = 4.5, iaitu antara nilai ke-4 dan ke-5.

23345777

Median = (4 + 5) ÷ 2 = 4.5

Contoh 12 · 3, 6, 11, 4, 8, 14, 21 (N ganjil)

3468111421

N = 7, kedudukan = (7 + 1) ÷ 2 = 4. Median = nilai ke-4 = 8.

Contoh 11 · Dua mod

6, 3, 1, 2, 7, 5, 9, 2, 3, 4. Nilai 2 dan 3 sama-sama muncul 2 kali, jadi mod = 2 dan 3. Min = 42 ÷ 10 = 4.2. Median = (3 + 4) ÷ 2 = 3.5.

2. Data tak terkumpul: jadual kekerapan

Minx̄ = ΣfxΣfMedianguna kekerapan longgokan

Contoh 13 (Jadual 12) · Bilangan anak bagi 50 keluarga.

Bil. anak (x)	Keluarga (f)	fx	Kekerapan longgokan
0	4	0	4
1	8	8	12
2	16	32	28
3	13	39	41
4	6	24	47
5	3	15	50
Jumlah	Σf = 50	Σfx = 118

Mod = 2 anak (kekerapan paling tinggi, 16).
Median: kedudukan = (50 + 1) ÷ 2 = 25.5. Kekerapan longgokan 12 < 25.5 ≤ 28, jadi median = 2.
Min = 118 ÷ 50 = 2.36 anak.

3. Data terkumpul (ada selang kelas)

Min · x = titik tengahx̄ = ΣfxΣf Titik tengahx = had bawah + had atas2

Medianm = L + N2 − Ff_m × c

L = sempadan bawah kelas median
N = jumlah kekerapan
F = kekerapan longgokan sebelum kelas median
f_m = kekerapan kelas median
c = saiz selang kelas

Contoh 15 · Durian di dusun Pak Ali (Jadual 14)

Bil. durian	f	Titik tengah x	fx	Kek. longgokan
6–10	2	8	16	2
11–15	4	13	52	6
16–20	10	18	180	16
21–25	11	23	253	27
26–30	6	28	168	33
31–35	7	33	231	40
Jumlah	40		900

Min = 900 ÷ 40 = 22.5 biji.
Kelas median: N ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20. Kekerapan longgokan sampai 20 berada dalam kelas 21–25.
L = (20 + 21) ÷ 2 = 20.5, F = 16, f_m = 11, c = 5.
Median = 20.5 + ((20 − 16) ÷ 11) × 5 = 20.5 + 1.82 = 22.32 biji.
Kelas mod = 21–25 (kekerapan tertinggi, 11).

4. Mod daripada histogram · Contoh 14 (tinggi pelajar, Jadual 13)

Lukis dua garis pepenjuru pada palang paling tinggi. Titik silang = anggaran mod.

Kelas mod = 165–169. Modul membaca mod daripada histogram ≈ 166.8 cm. Bacaan graf ialah anggaran, jadi jawapan sekitar 166.6 hingga 166.8 cm diterima.

5. Median daripada ogif

Ogif = graf kekerapan longgokan melawan sempadan atas. Mulakan pada kekerapan 0. Baca nilai x pada kekerapan longgokan N ÷ 2.

Daripada ogif durian, median ≈ 22 biji. Formula memberi 22.32. Kedua-duanya hampir sama.

🛠️ Mesin Purata

Taip nombor sendiri (asingkan dengan koma atau ruang). Mesin tunjuk langkah min, median dan mod. Tiada XP, jadi cuba sebanyak mana pun.

💡 Tip Matematik

SUSUN dulu, baru cari median. Ramai pelajar ambil nombor tengah daripada data yang belum disusun. Untuk data terkumpul, cari kelas median dahulu guna N ÷ 2. Kemudian ambil F daripada baris sebelum kelas itu.

📝 Latihan pengukuhan 1.3

Bahagian A: 10 objektif (+5 XP). Bahagian B: 8 struktur (+10 XP). Bahagian C: 5 soalan daripada Latihan modul (+15 XP). XP hanya jika betul sebelum butang “Tunjuk jawapan”. Jawapan perpuluhan: bundarkan kepada 2 tempat perpuluhan.

Butang skema mengunci soalan yang belum dijawab. Anda tidak dapat XP untuk soalan itu.

Bahagian A · Objektif

Bahagian B · Struktur

Bahagian C · Penyelesaian masalah

Jadual 6 · Tinggi 50 pemain bola keranjang (cm).

Tinggi (cm)	148–152	153–157	158–162	163–167	168–172	173–177
Kekerapan	5	7	8	16	10	4

🎯 MISI 1.4

Sukatan serakan

Pengukuran serakan menunjukkan sejauh mana nilai-nilai data tersebar daripada min.

Mengira julat, kuartil dan julat antara kuartil bagi data tak terkumpul dan data terkumpul.
Mencari kuartil daripada ogif.
Mengira varians dan sisihan piawai.

🧠 Kenapa serakan penting?

Dua pasukan pemanah. Kedua-dua ada min 10 mata. Siapa lebih konsisten?

Pasukan A: 9, 10, 10, 11

9101011

Julat = 11 − 9 = 2. Data rapat. Serakan kecil.

Pasukan B: 2, 8, 12, 18

281218

Julat = 18 − 2 = 16. Data jauh-jauh. Serakan besar.

Min sama, tetapi Pasukan A lebih konsisten. Itulah tugas sukatan serakan.

🧠 Nota ringkas bergambar

JULAT ↔️

Nilai tertinggi − nilai terendah.

KUARTIL ✂️

Bahagi data tersusun kepada 4 bahagian sama: Q₁, Q₂ (= median), Q₃.

JULAT ANTARA KUARTIL 📦

Q₃ − Q₁. Serakan 50% data di tengah.

VARIANS & SISIHAN PIAWAI 📐

Varians = min kuasa dua sisihan daripada min. Sisihan piawai = √varians.

1. Julat dan kuartil · data tak terkumpul

Contoh 16 · 4, 6, 7, 8, 2, 11, 15, 10. Julat = 15 − 2 = 13.

Cara cari Q₁ dan Q₃: susun menaik, belah dua di median. Q₁ = median separuh bawah. Q₃ = median separuh atas. Jika N ganjil, median tidak masuk mana-mana separuh.

Contoh 17(i) · 2, 6, 8, 3, 10, 5 (N = 6)

235|6810

Q₁ = 3, Q₃ = 8.

Contoh 17(ii) · 6, 2, 4, 12, 9, 15, 8, 16 (N = 8)

2468|9121516

Q₁ = (4 + 6) ÷ 2 = 5, Q₃ = (12 + 15) ÷ 2 = 13.5.

Contoh 18 · 6, 8, 5, 9, 12, 1, 4, 7, 15 (N = 9, median 7 diasingkan)

14567891215

Q₁ = (4 + 5) ÷ 2 = 4.5, Q₃ = (9 + 12) ÷ 2 = 10.5. Julat antara kuartil = 10.5 − 4.5 = 6.

Kotak hijau = julat antara kuartil (6). Hujung ke hujung = julat (15 − 1 = 14).

2. Kuartil · jadual kekerapan (Contoh 19)

Diameter 120 bebola galas (mm). Guna kedudukan Q₁ = T_(N+1)/4 dan Q₃ = T_3(N+1)/4.

Diameter (mm)	4.7	4.8	4.9	5.0	5.1	5.2
Kekerapan	18	20	24	26	18	14
Kek. longgokan	18	38	62	88	106	120

Julat = diameter terbesar − diameter terkecil = 5.2 − 4.7 = 0.5 mm.
Q₁: (120 + 1) ÷ 4 = 30.25. Longgokan 18 < 30.25 ≤ 38, jadi Q₁ = 4.8 mm.
Q₃: 3(121) ÷ 4 = 90.75. Longgokan 88 < 90.75 ≤ 106, jadi Q₃ = 5.1 mm.
Julat antara kuartil = 5.1 − 4.8 = 0.3 mm.

3. Julat dan kuartil · data terkumpul

Julattitik tengah kelas tertinggi − titik tengah kelas terendah

Kuartil pertamaQ₁ = L + N4 − Ff_Q1 × c Kuartil ketigaQ₃ = L + 3N4 − Ff_Q3 × c

L, F, f dan c dibaca daripada kelas kuartil itu sendiri, sama seperti formula median.

Contoh 20 · Tinggi 200 anak pokok durian (Jadual 16)

Tinggi (cm)	f	Kek. longgokan
85–89	4	4
90–94	14	18
95–99	21	39
100–104	34	73	kelas Q₁ (T50)
105–109	61	134	kelas median (T100)
110–114	44	178	kelas Q₃ (T150)
115–119	15	193
120–124	7	200

Julat = 122 − 87 = 35 cm (titik tengah 120–124 ialah 122, titik tengah 85–89 ialah 87).
Median = 104.5 + ((100 − 73) ÷ 61) × 5 = 104.5 + 2.21 = 106.71 cm
Q₁ = 99.5 + ((50 − 39) ÷ 34) × 5 = 99.5 + 1.62 = 101.12 cm
Q₃ = 109.5 + ((150 − 134) ÷ 44) × 5 = 109.5 + 1.82 = 111.32 cm
Julat antara kuartil = 111.32 − 101.12 = 10.2 cm

Kuartil daripada ogif (Contoh 21)

Baca nilai x pada kekerapan longgokan: Q₁ di N ÷ 4, median di N ÷ 2, Q₃ di 3N ÷ 4.

Tinggi 60 pelajar: 151–155 (7), 156–160 (29), 161–165 (15), 166–170 (6), 171–175 (2), 176–180 (1). Sempadan atas 150.5 hingga 180.5, kekerapan longgokan 0, 7, 36, 51, 57, 59, 60.

Bacaan ogif modul: Q₁ (T15) ≈ 157.5 cm, median (T30) ≈ 159.0 cm, Q₃ (T45) ≈ 163.0 cm. Julat antara kuartil ≈ 163 − 157.5 = 5.5 cm. Julat = 178 − 153 = 25 cm.

Bacaan graf bergantung pada lukisan anda, jadi beza kecil (sekitar ±0.5) adalah biasa.

4. Varians dan sisihan piawai

Varians (σ² atau s²) ialah min kuasa dua sisihan daripada min. Sisihan piawai (σ atau s) ialah punca kuasa dua varians.

Jenis data	Varians	Sisihan piawai
Senarai nombor	σ² = Σx²N − x̄²	σ = √varians
Jadual kekerapan	σ² = Σfx²Σf − x̄²	σ = √varians
Data terkumpul (x = titik tengah)	σ² = Σfx²Σf − x̄²	σ = √varians

Contoh 22 · 1, 7, 2, 5

x	1	7	2	5	Jumlah
x²	1	49	4	25	Σx² = 79

Min x̄ = 15 ÷ 4 = 3.75
Varians = 79 ÷ 4 − 3.75² = 19.75 − 14.0625 = 5.6875
Sisihan piawai = √5.6875 = 2.38

Contoh 23 · Diameter tiub televisyen (Jadual 18)

x	f	fx	x²	fx²
12	6	72	144	864
14	22	308	196	4312
16	28	448	256	7168
18	31	558	324	10044
20	10	200	400	4000
22	3	66	484	1452
Jumlah	100	1652		27840

Min = 1652 ÷ 100 = 16.52
Varians = 27840 ÷ 100 − 16.52² = 278.40 − 272.91 = 5.49
Sisihan piawai = √5.49 = 2.34

Contoh 24 · Markah 140 pelajar (data terkumpul)

Markah 30–39 (4), 40–49 (18), 50–59 (35), 60–69 (46), 70–79 (31), 80–89 (6). Titik tengah 34.5, 44.5, …, 84.5. Σfx = 8630, Σfx² = 550635.

Min = 8630 ÷ 140 = 61.64
Varians = 550635 ÷ 140 − 61.643² = 3933.11 − 3799.84 = 133.27
Sisihan piawai = √133.27 = 11.54

Jangan bundarkan min terlalu awal. Jika min dibundarkan kepada 61.64 dahulu, jawapan menjadi sekitar 11.56. Gunakan nilai penuh dalam kalkulator.

🛠️ Mesin Serakan

Taip nombor sendiri. Mesin tunjuk julat, Q₁, Q₃, julat antara kuartil, varians dan sisihan piawai, langkah demi langkah.

💡 Tip Matematik

Varians tidak pernah negatif. Jika kalkulator beri nombor negatif, anda mungkin lupa kuasa dua min. Ingat susunan: (1) kira min, (2) kira Σx² atau Σfx², (3) bahagi dengan N, (4) tolak min², (5) punca kuasa dua untuk sisihan piawai.

Cari pusat data, kemudian ukur serakannya

1.3 Purata

1.4 Serakan

Main sambil belajar

XP dan lencana

⭐ Sistem XP

🎖️ Lencana pencapaian

Sukatan kecenderungan memusat

🧠 Nota ringkas bergambar

1. Data tak terkumpul: senarai nombor

Contoh 10 · 4, 7, 3, 7, 2, 5, 3, 7

Contoh 12 · 3, 6, 11, 4, 8, 14, 21 (N ganjil)

Contoh 11 · Dua mod

2. Data tak terkumpul: jadual kekerapan

3. Data terkumpul (ada selang kelas)

Contoh 15 · Durian di dusun Pak Ali (Jadual 14)

4. Mod daripada histogram · Contoh 14 (tinggi pelajar, Jadual 13)

5. Median daripada ogif

🛠️ Mesin Purata

💡 Tip Matematik

Empat tahap, 50 XP

📝 Latihan pengukuhan 1.3

Bahagian A · Objektif

Bahagian B · Struktur

Bahagian C · Penyelesaian masalah

Sukatan serakan

🧠 Kenapa serakan penting?

🧠 Nota ringkas bergambar

1. Julat dan kuartil · data tak terkumpul

2. Kuartil · jadual kekerapan (Contoh 19)

3. Julat dan kuartil · data terkumpul

Contoh 20 · Tinggi 200 anak pokok durian (Jadual 16)

Kuartil daripada ogif (Contoh 21)

4. Varians dan sisihan piawai

Contoh 22 · 1, 7, 2, 5

Contoh 23 · Diameter tiub televisyen (Jadual 18)

Contoh 24 · Markah 140 pelajar (data terkumpul)

🛠️ Mesin Serakan

💡 Tip Matematik

Empat tahap, 50 XP

📝 Latihan pengukuhan 1.4

Bahagian A · Objektif

Bahagian B · Struktur

Bahagian C · Penyelesaian masalah

🏆 Arena · Misi bonus